(Article corrigé le 1/5/24 suite à la remarque d'un lecteur !)
Ce problème de M. Lebel (Le Point 31/03/2022) est un bel exemple de cumul de chances, et m'incite à me remettre à l'ouvrage après trop longtemps de paresse.
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♠ D V 10 |
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♠ A 9 3 |
Sud joue 6SA sur entame neutre dans une mineure. 10 levées de tête...
Il suffit de réussir une des deux impasses. Si celle à P fonctionne, bingo 12 levées ; sinon on fera deux levées à P, et il faut que le RC soit en E pour faire deux levées à C sans chuter.
A ce stade on est très près de 75% de chances de succès, puisque cela chute seulement si le RC est en Ouest et le RP aussi.
Pour les pros du calcul c'est même un peu plus de 75% au nom des "cases vacantes", les deux Rois ont plus de chances d'être l'un en face de l'autre. Le résultat exact est 1 - (1/2)*(12/25) = 76%
Un excellent chelem, mais on peut encore gagner quelques % et faire 6SA même avec les deux Rois mal placés. Comment ? Grâce au petit 8 de Coeur !
Il faut pour améliorer ses chances partir de la DC (et pas de la DP !) Si elle est couverte en E, on prend bien sûr et on retourne au mort pour faire l'impasse P en ayant conservé précieusement le VC. 12 levées garanties, ou 13.
Si elle fait sa levée, eh bien pareil, passons aux P tant qu'on a encore l'AC
Si le RC se montre en W (qui malin va rejouer tout sauf P...) plutôt que de passer à l'impasse P, commençons par tester le partage des C. En effet on va gagner 12 levées sans impasse P dès que le 8C fera sa levée : il faut pour cela que le 10 et le 9 tombent sur les trois premiers tours, c'est-à-dire si les C sont 4-3 avec en Est 109x ou en Ouest R109, ou encore les C 5-2 si E est doubleton 10 9.
Un peu de probas là-dessus... D'abord approximativement : on suppose que la répartition des P est indépendante de celle des C.
Le doubleton bien particulier 10 et 9 en Est quand il y a 7 cartes inconnues : 0,727%.
Chaque cas de tripleton quand il y a 7 cartes inconnues : 0,888%. Il y a 5 cas favorables, celui de R109 en Ouest et les 4 avec 109x en Est où x est n'importe quelle petite carte inconnue inférieure au 8 : 7653.
Total 0,727 + 5*0,888 = 5,168%
Parmi les 50% de cas défavorables avec RC en Ouest, la présence du 8C quatrième nous sauve dans un peu plus de 5% des cas.
Comme d'habitude dans ces situations de cumul de chances, le calcul est plus facile en raisonnant sur le "cumul de malchances" car alors toutes les probabilités se multiplient puisque l'on fait le "ET" entre différents événements supposés indépendants.
Approximativement le chelem chute si RP mal placé (50%) et si RC mal placé sauf 10 et 9 en tripleton (50-5,168%) soit 77,8%
Ce calcul ne tient pas compte de la corrélation entre les positions des deux Rois, on a vu qu'elle fait gagner 1% et il n'est pas déraisonnable de penser que ce 1% est conservé quand on ajoute le bonus dû au 8C.
Estimation finale à 79%...
Petit inconvénient c'est que si l'on a testé les C sans pouvoir affranchir le 8, et que le RP est aussi en Ouest, alors on risque de chuter d'une levée de plus que les autres qui auront bêtement raté l'impasse P, puis l'impasse C (car alors on donne les deux Rois et un C affranchi). En par 4 c'est brillant, en tournoi par paires ?...
Une variante ?
Puisque l'astuce consiste à tenter de faire 3 levées à C, pour essayer d'éviter l'impasse P, on pourrait essayer de jouer les C autrement : le maniement standard aussi bien pour faire 3 levées que 4 consiste à encaisser l'A et à jouer vers DV, cela procure 3 levées quand le R est placé en O, ou en E mais alors troisième, et dans d'autres cas favorables : 10 et 9 en Ouest, R10 ou R9 en Est,R sec... : la présence du 8 fait passer de 68,9% de faire 3 levées à 72,0%.
Mais l'inconvénient est que si le RC est second ou plus long en Est, celui-ci va jouer P, on sera au pied du mur sans avoir eu le temps de tester l'affranchissement des C qui a tout de même peu de chances de fonctionner, donc il va falloir faire l'impasse au RP. On perd alors le bénéfice de la ligne de jeu Lebel, et on risque d'être bêtement le seul à chuter puisque l'impasse au RC aurait fonctionné ! Dommage.
Et maintenant avec le 9 au lieu du 8...
C'est évidemment favorable, puisqu'il suffit maintenant que le 10 tombe lors des 3 premiers tours à Coeur. Et on suppose que le RC est en Ouest.
- le 10 sec en Est : un cas de singleton soit 0,484%
- le 10 second, accompagné d'une des 5 petites cartes manquantes, 5 cas de doubleton à 0,727% chacun
- R 10 seconds en Ouest, un autre cas de doubleton
- R 10 x en Ouest, 5 cas de tripleton à 0,888% chacun
- 10 x x en Est, 10 cas de tripleton, autant que de façons de choisir les deux petites cartes parmi 5
Le 8 quatrième apportait 3% de chances en plus, le 9 apporte 9%, belle carte !
Le calcul complet avec le 8
Négligeons le fait qu'à l'entame (en mineure) Est afficherait une chicane ce qui vient encore bouleverser les probabilités. On peut raisonner alors en probas a priori, la connaissance de deux cartes adverses dans une couleur où on en a 7 n'apporte pratiquement aucune information. Mais un peu quand même, par exemple le 13/19 de la ligne suivante deviendrait 11/17. Tout ce qui suit néglige cette information à l'entame
Si les C sont 0-7 avec 0 en W, on a gagné (0,26%) ;
s'ils sont 7-0 il faut réussir l'impasse Pique ce qui a de bonnes chances car il y a 13 cases vacantes en Est et seulement 6 en Ouest puisque 7 sont occupées par les C, proba 0,26%*13/19
En effet pour calculer les chances de l'impasse P, il faut compter celles autres que C (soit 13 moins son nombre de C) en E par rapport au total de 19 en EW.
Si les C sont 1-6 on a gagné quand ce n'est pas R sec en W : 3,39%*6/7 ; et dans le cas du R sec en W l'impasse P a peu de chances de gagner : 7/19 ce qui ne rajoute que 3,39%*1/7*7/19
Si les C sont 6-1 on a gagné si c'est le R sec en E : 3,39%*1/7, sinon sur l'impasse P : 3,39%*6/7*12/19
Si les C sont 2-5 on a gagné si le R est en E : 15,26%*5/7, sinon sur l'impasse P : 15,26%*2/7*8/19
Si les C sont 5-2 on a gagné si le R est en E : 15,26%*2/7, ou si le doubleton en Est est précisément 10 et 9, une chance sur 15 : 15,26%*5/7*1/15= 0,73% ; et dans les autres cas de 5-2 l'impasse P, sauf erreur 15,26*5/7*14/15*11/19
Si les C sont 3-4 on a gagné si le R est en E : 31,09%*4/7, ou si W détient R109 : 31,09%*3/7*1/15 ; sinon sur l'impasse P : 31,09%*3/7*14/15*9/19
Si les C sont 4-3 on a gagné si le R est en E : 31,09%*3/7, ou si E détient 109x : 31,09%*4/7*4/15 ; sinon sur l'impasse P : 31,09%*4/7*11/15*10/19
En ajoutant les 17 expressions soulignées puisque tous ces cas on indépendants, on obtient 79,017%... Ouf, ça a l'air juste, en tout cas c'est cohérent avec l'hypothèse simplificatrice.
Et si maintenant on tient compte des deux cases vacantes prises en EW par l'entame, on peut recalculer tout ça... Les probas de répartition des C vont légèrement varier, et les fractions pour le succès de l'impasse P vont passer de n/19 à n-1/17.
On pourrait aussi jouer trois autres tours dans les mineures, pour compter les mains, sans se bloquer les communications. Calcul avec 4 tours en mineures, sauf cas où un singleton se manifeste quelque part :
Par exemple la dernière ligne devient
"Si les C sont 4-3 on a gagné si le R est en E : 33,26%*3/7, ou si E détient 109x : 33,26%*4/7*4/15 ; sinon sur l'impasse P : 33,26%*4/7*11/15*6/11"
Et la probabilité cumulée passe à 79,66% ; moins de 1% d'écart : comme supposé l'effet des cartes connues dans les autres couleurs est négligeable.
