Définition
Dans le domaine du bridge, où il n'y a toujours qu'un nombre fini de possibilités (même si c'est parfois des milliards de milliards !), la probabilité d'un événement, d'une situation, est définie par le pourcentage de cas où cet événement se produit par rapport à l'ensemble des cas possibles. Exemple : s'il vous manque 6 cartes dans une couleur, la répartition 3-3 aura lieu dans 35,5% des cas, par rapport à toutes les répartitions possibles chez les adversaires. Autrement dit, la probabilité est 0,355.
Inverse, combinaison de deux événements, cumul de chances
La probabilité de l'inverse vaut 1 moins la probabilité. Dans l'exemple du début, il y a 64,5% de chances (100-35,5)que vous trouviez un adversaire avec au moins 4 cartes dans la couleur.
Si deux événements sont indépendants (cette condition est très importante), la probabilité de l'événement "ET" (ils ont lieu tous les deux) est le produit des deux probabilités. Exemple : la probabilité que vous tiriez un as dans un paquet de 52 cartes est 1/13, celle que vous tiriez un coeur est 1/4. La probabilité de tirer l'as de coeur est (1/4)*(1/13) = 1/52 évidemment.
Si deux événements sont indépendants, la probabilité de l'événement "OU" (l'un au moins a lieu) est la somme des deux probabilités, moins leur produit. Il faut soustraire le produit, sinon on va compter deux fois les cas où le "ET" a lieu, et dans certains cas on pourrait même dépasser les 100%.
Si les événements s'excluent mutuellement, c'est plus simple, il suffit pour le "OU" d'ajouter leurs probabilités.
Exemple pratique au bridge : le cumul des chances. Si un contrat peut gagner soit sur une impasse (50%) soit sur une répartition 3-3 (36%) et que vous jouez comme il faut, vous allez gagner dans 0,50 + 0,36 - 0,18 = 0,68, un peu plus de deux tiers des cas... Autre façon de calculer : on chute si l'impasse rate ET si la couleur est mal répartie, donc 50% * 0,64% = 32%.
On peut généraliser à plus de deux événements (problème du Point, 21 janvier 2010) :
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♠ 7 6 3 |
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♠ A R D 8 ♥ A D 8 ♦ V 6 5 2 ♣ 7 3 |
Vous jouez 6 coeurs en Ouest contre des adversaires qui n'ont pas fait le cadeau d'une entame trèfle. Une perdante trèfle peut partir soit sur le 8 de pique avec une bonne répartition, soit sur le valet de carreau (dame sèche ou seconde qui tombera sous AR, ou troisième qui se fera couper ; on peut calculer que la chute de la DK représente au total 36%), soit finalement en tentant l'as bien placé en sud. Votre chelem ne chutera que si aucune de ces 3 conditions se produit, c'est-à-dire dans (1-0,36)*(1-0,36)*(1-0,50) = environ 20%. Il est donc à 4 chances sur 5. Dans le problème, les piques étaient 4-2, mais la dame de carreau était troisième. Il serait dommage de se précipiter sur l'impasse à l'as de trèfle, qui évidemment rate ! Une erreur dans le calcul pour la DK a été corrigée en janvier 2013.
Attention à l'hypothèse d'indépendance. Dans l'exemple précédent, il n'est pas rigoureusement exact de supposer indépendantes la répartition des piques et celle des carreaux car chaque adversaire a 13 cartes en tout, mais l'erreur est certainement microscopique. Ce n'est pas toujours le cas : par exemple si l'on connaît la probabilité d'avoir une couleur cinquième dans sa main et que l'on cherche à en déduire la probabilité d'avoir un bicolore 5-5, on va droit dans le mur.
Comment on calcule les probabilités : dénombrements
Il existe deux grandes méthodes : par dénombrement, où l'on "compte" les cas où l'événement se produit ainsi que le nombre total de cas, ou dans les cas plus complexes où le dénombrement n'est pas faisable, par simulation, avec des méthodes statistiques pour obtenir une estimation de la probabilité. Cette seconde technique sera abordée dans un article spécifique.
Il existe par ailleurs la notion de "probabilité a posteriori" qui consiste à recalculer les probabilités sachant que l'on a telle ou telle information supplémentaire, typiquement les cartes déjà apparues. C'est très utile mais en même temps une source d'erreurs fréquentes, et un article spécifique y sera consacré.
Revenant au cas simple, les dénombrements...
Un calcul qui revient parfois est celui des permutations. Combien y a-t-il de façon se ranger les 13 cartes que vous venez de tirer de l'étui ? Ou de faire un plan de table pour asseoir vos invités ?
Il y a 13 façons de choisir la carte que vous rangez à gauche, que multiplie 12 façons de choisir sa voisine, puis 11 etc. Au total 13*12*11*... 3*2*1 que l'on désigne sous le nom de "factorielle de 13" et que l'on note "13!". Pour les curieux, cela vaut 6 227 020 800. Par convention 0! = 1.
Absolument indispensable pour les dénombrements, le calcul des combinaisons. Combien y a-t-il de façons de choisir 13 cartes parmi 52 (cette fois peu importe leur ordre) ? Cette quantité, nombre de façons de choisir p objets parmi n, est notée C(n,p) et on peut montrer qu'elle vaut n! / ( p! * (n-p)!). Dans l'exemple : 52! / (13! 39!) qui vaut environ 635 milliards, est le nombre de "mains" différentes au bridge.
On a toujours C(n,0)=1, C(n,1)=n, C(n,p)=C(n,n-p) car il y a autant de façons de choisir p objets que d'en éliminer n-p.
Si p>n ou si n ou p est négatif, C n'a aucun sens et on peut admettre qu'il vaut zéro.
On peut aussi calculer les C par récurrence (méthode du triangle de Pascal) par de simples additions avec la propriété C(n,p)=C(n-1,p)+C(n-1,p-1)
Les premières valeurs de C(n,p), n en lignes, p en colonnes :
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | 1 | 1 | |||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | ||||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | |||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | |
| 6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 |
Les combinaisons servent beaucoup pour les calculs de répartitions et les maniements de couleur. Mais pas seulement.
Par exemple si vous êtes 6 dans votre équipe de duplicate, vous avez C(6,4)=15 façons de choisir les 4 joueurs qui vont disputer l'un des matches, à multiplier par 3 façons de "marier" les 4 joueurs choisis, 15*3=45. Si maintenant vous vous intéressez à qui va s'asseoir en N, S, E ou W, le 15 est à multiplier par 4!=24, donc 15*24=360.
Variable aléatoire, moyenne
On peut aussi définir une variable aléatoire qui peut avoir un certain nombre de valeurs, chacune avec une certaine probabilité. Le nombre de points d'honneur que vous recevez est une variable aléatoire : un nombre entier allant de 0 (main blanche) à 37 (4 as, 4 rois, 4 dames, un valet). La moyenne, encore appelée espérance mathématique, de cette variable vaut bien sûr 10. Plus généralement, elle est définie par la somme de chacune des valeurs possibles de la variable multipliée par la probabilité de cette valeur.
Par exemple si vous avez dans une couleur A5432 en face de R876, le nombre de levées que vous allez faire est une variable aléatoire qui vaut 5 si les 4 cartes restantes sont réparties 2-2, probabilité 40,7%, ou 4 si elles sont 3-1, probabilité 49,7%, ou encore 3 si elles sont 4-0, probabilité 9,6%. Le nombre de levées moyen est alors 3,31 (4*0,407 + 3*0,497 + 2*0,096).
