Ce problème de M. Lebel (Le Point 31/03/2022) est un bel exemple de cumul de chances, et m'incite à me remettre à l'ouvrage après trop longtemps de paresse.
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♠ D V 10 |
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♠ A 9 3 |
Sud joue 6SA sur entame neutre dans une mineure. 10 levées de tête...
Il suffit de réussir une des deux impasses. Si celle à P fonctionne, bingo 12 levées ; sinon on fera deux levées à P, et il faut que le RC soit en E pour faire deux levées à C sans chuter.
A ce stade on est très près de 75% de chances de succès, puisque cela chute seulement si le RC est en Ouest et le RP aussi.
Pour les pros du calcul c'est même un peu plus de 75% au nom des "cases vacantes", les deux Rois ont plus de chances d'être l'un en face de l'autre. Le résultat exact est 1 - (1/2)*(12/25) = 76%
Un excellent chelem, mais on peut encore gagner quelques % et faire 6SA même avec les deux Rois mal placés.
Il faut pour améliorer ses chances partir de la DC (et pas de la DP !). Si elle est couverte en E, on prend bien sûr et on retourne au mort pour faire l'impasse P en ayant conservé précieusement le VC. 12 levées garanties, ou 13.
Si elle fait sa levée, eh bien pareil, passons aux P tant qu'on a encore l'AC
Si le RC se montre en W (qui malin va rejouer tout sauf P...) plutôt que de passer à l'impasse P, commençons par tester le partage des C. En effet on va gagner 12 levées sans impasse P dès que le 8C fera sa levée, c'est-à-dire si les C sont 3-3 ou encore si E est doubleton 10 9.
Un peu de probas là-dessus... D'abord approximativement (on suppose que la répartition des P est indépendante de celle des C).
Les C répartis 3-3 c'est 35,5%. S'y ajoute le cas d'un doubleton bien particulier : 1,6%. Total 37,1%
Le chelem ne va chuter que si ces conditions de répartition des C ne sont pas remplies donc dans 24% * (1 - 0,371) = 15,1% Bravo !
Le calcul est approximatif car s'il y a doubleton 10 9 en Est, alors le RC est forcément en Ouest, il n'y a pas indépendance entre les événements.
Comme d'habitude dans ces situations de cumul de chances, le calcul est plus facile en raisonnant sur le "cumul de malchances" car alors toutes les probabilités se multiplient puisque l'on fait le "ET" entre différents événements supposés indépendants.
Le seul inconvénient c'est que si l'on a testé les C et qu'ils se révèlent 4-2 en Ouest, et que le RP est aussi en Ouest, alors on va chuter d'une levée de plus que les autres qui auront bêtement raté l'impasse P, puis l'impasse C (car alors on donne les deux Rois et un C affranchi).
Le calcul plus exact, pour le fun.
La probabilité du RP mal placé en W dépend, on l'a vu, de la position du RC. Et elle dépend encore plus du nombre de C en W, effet cases vacantes toujours. Il faut donc considérer tous les cas de répartition des C.
On va par contre négliger l'information éventuellement apportée par la répartition dans les mineures. Il est clair que si on constate à l'entame que E est chicane dans une mineure, les chances de gain augmentent sensiblement car il y a plus de place pour les Rois majeurs en E. Cette situation est très rare. Par ailleurs si l'on a par exemple joué 4 levées en mineures pour communiquer avec le mort, et que tout le monde a fourni, l'effet des cases vacantes pour RC et RP est légèrement modifié (puisqu'il manque 4 cases vacantes de chaque côté... En ne se basant que sur le cumul des impasses, le résultat deviendrait 1 - (1/2)*(8/17) = 76,47% au lieu de 76%, cela change très peu. Oublions, car cela ne changerait pas le plan de jeu, et raisonnons en probas a priori.
Chute si RP en W accompagné du RC dans...
- 6C : la proba du 6-0 est 0,75%, et celle que le RP soit dans les 7 cases disponibles en Ouest plutôt que dans les 13 disponibles en Est est 7/20, donc malchance = 0,2625%
- 5C dont le RC : la proba d'un singleton C en Est est 1,21% et si c'est le RC sec on a gagné, donc malchance = 5*1,21%*8/20 = 2,42% (le 8/20 c'est toujours la proba du RP en Ouest, une case vacante de plus que pour le 6-0)
- 4C dont le RC : plus compliqué... il y C(6,2)=15 doubletons possibles en Est. Dans 5 cas de doubleton Rx on gagne, ainsi qu'avec le doubleton 10 9 qui va promouvoir le 8 du mort. Les cas défavorables sont donc 1,61% (proba d'un doubleton particulier) fois 9 (puisque 6 doubletons sur 15 font gagner) fois 9/20 (effet cases vacantes à P) = 6,5205%
- 3C : on a gagné, cette situation contribue pour 0% à la proba de chute
- 2C dont le RC : 5 cas de doubleton en Ouest fois effet cases vacantes à P, 5*1,61*11/20 = 4,4275%
- RC sec : un cas de singleton 1,21% fois 12/20 = 0,726%
